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Concept(s)-clé(s)¶
DÉFINITION 1 :¶
Soient $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $n, \mathscr{B}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)$ une base ordonnée de $V$ et $v \in V$. Comme $\mathscr{B}$ est une base de $V,$ il existe des uniques scalaires $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in \mathbb{R}$ tels que $v=\alpha_{1} v_{1}+\cdots+\alpha_{n} v_{n} .$ On appelle $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ les coordonnées de $v$ par rapport $\dot{a}$ la base $\mathscr{B}$ et on écrit $$ [v]_{\mathscr{B}}=\left(\begin{array}{c} \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \vdots \\ \alpha_{n} \end{array}\right) $$
PROPOSITION 2 :¶
Soient $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $\mathscr{B}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)$ une base ordonnée de $V$. Alors les deux affirmations suivantes sont vérifiées.
- Pour tous $v_{1}, v_{2} \in V,$ on a $\left[v_{1}+v_{2}\right]_{\mathscr{B}}=\left[v_{1}\right]_{\mathscr{B}}+\left[v_{2}\right]_{\mathscr{B}}$
- Pour tout $v \in V$ et tout $\lambda \in \mathbb{R},$ on a $[\lambda v]_{\mathscr{B}}=\lambda[v]_{\mathscr{B}}$.
Exercice 1:¶
Soit $\mathbb{R}^2$ l'espace du plan. La base la plus évidente de cet espace vectoriel est la base canonique $\mathscr{B} = \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \end{array}\right), \left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \end{array}\right)\right\}$. Cette base est représentée dans le graphique suivant.
ch4_11_plot(show_can_base=True)
Quelle base de $\mathbb{R}^2$ est représentée ci-dessous?
ch4_11ex1_plot()
# Entrez les vecteurs qui forment la base réprésentée ci-dessus
# Par exemple : [[1, 2], [3, 4]]
base = [[0, 0],[0, 0]]
ch4_11ex1(base)
"C'est incorrect."
Exercice 2¶
a) Soit le vecteur $\textbf{v}$ représenté dans le graph suivant, $\mathscr{B}_1$ la base canonique de $\mathbb{R}^2$ et $\mathscr{B}_2 = \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \end{array}\right)\right\}$. Quelles sont les coordonnées de de $\textbf{v}$ dans $\mathscr{B}_1$?
#ici graph avec v desssus (graph 3)
ch4_11ex2a_plot()
# Entrez les coordonnées du vecteur v dans la base B1
# Par exemple : [1,2]
vB1 = [0, 0]
ch4_11ex2aB1(vB1)
"C'est incorrect."
Et dans $\mathscr{B}_2$?
# Entrez les coordonnées du vecteur v dans la base B2
# Par exemple : [1,2]
vB2 = [0, 0]
ch4_11ex2aB2(vB2)
"C'est incorrect."
b) Avec les mêmes bases, quelles sont les coordonnées du vecteur $\textbf{u}$ dans $\mathscr{B}_1$?
#ici graph avec u desssus (graph 4)
ch4_11ex2b_plot()
# Entrez les coordonnées du vecteur u dans la base B1
# Par exemple : [1,2]
uB1 = [0, 0]
ch4_11ex2bB1(uB1)
"C'est incorrect."
Et dans $\mathscr{B}_2$?
# Entrez les coordonnées du vecteur u dans la base B2
# Par exemple : [1,2]
uB2 = [0, 0]
ch4_11ex2bB2(uB2)
"C'est incorrect."
c) Toujours avec les mêmes bases, quelles sont les coordonnées du vecteur $\textbf{w}$ dans $\mathscr{B}_1$?
#ici graph avec w desssus (graph 5)
ch4_11ex2c_plot()
# Entrez les coordonnées du vecteur w dans la base B1
# Par exemple : [1,2]
wB1 = [0, 0]
ch4_11ex2cB1(wB1)
"C'est incorrect."
Et dans $\mathscr{B}_2$?
# Entrez les coordonnées du vecteur w dans la base B2
# Par exemple : [1,2]
wB2 = [0, 0]
ch4_11ex2cB2(wB2)
"C'est incorrect."
Exercice 3¶
Considérons maintenant le vecteur $\textbf{s}$ tel que $\textbf{s} = \textbf{v}+\textbf{u}$. A l'aide de la proposition 2 et de l'exercice précédent, déduire les coordonnées de $\textbf{s}$ dans $\mathscr{B}_1$.
# Entrez les coordonnées du vecteur s dans la base B1
# Par exemple : [1,2]
sB1 = [0, 0]
ch4_11ex3B1(sB1)
"C'est incorrect."
Et dans $\mathscr{B}_2$?
# Entrez les coordonnées du vecteur s dans la base B2
# Par exemple : [1,2]
sB2 = [0, 0]
ch4_11ex3B2(sB2)
"C'est incorrect."